Последнее обновление на 30.01.2025
На прошлом уроке мы познакомились со сложением – одной из фундаментальных операций в математике. Мы узнали, что сложение – это неотъемлемая часть нашей повседневной жизни. От подсчета денег в кошельке до покупок в магазине – мы постоянно используем сложение, даже не задумываясь об этом.
Мы также выяснили, что способность к сложению присуща не только людям. Многие животные также демонстрируют умение выполнять базовые арифметические операции. Способности к сложению наблюдаются у различных видов животных, включая приматов, птиц и даже рыб. Приматы, такие как шимпанзе и макаки, способны складывать числа, что помогает им оценивать ресурсы и планировать действия. Птицы, особенно вороны и попугаи, могут различать числа и считать до пяти и более, что необходимо для их выживания и социальной организации. Удивительно, но рыбы тоже показывают зачатки способности к числовым операциям, предпочитая более крупные группы для большей безопасности.

Теперь перейдем к вычитанию – еще одной важной математической операции, которая играет не менее значимую роль в нашей жизни. Так же, как и сложение, вычитание незаметно сопровождает нас каждый день, помогая решать разнообразные задачи. Представьте себе, что вы покупаете вкусный пирог и отрезаете от него несколько кусочков. Чтобы понять, сколько кусочков пирога осталось, вы интуитивно используете вычитание. Это простой, но важный пример того, как мы ежедневно применяем эту операцию.

Даже животные в дикой природе используют принципы вычитания. Например, белка собирает орехи и распределяет их между разными запасами. Когда белка убирает часть орехов в одно место, она интуитивно понимает, сколько орехов остается в других запасах для будущего использования. Это помогает белке эффективно управлять своими ресурсами и обеспечивать себя зимой.

Сегодня мы подробно разберем, что такое вычитание, познакомимся с основными его элементами – уменьшаемым, вычитаемым и разностью, и научимся выполнять вычитание в столбик, решая различные примеры.
Давайте приступим к изучению вычитания !
Что такое Уменьшаемое, Вычитаемое и Разность?
Вычитание — это математическая операция, обратная сложению, при которой из одного числа (уменьшаемого) вычитается другое число (вычитаемое), и в результате получается разность. Если сложение помогает нам узнать, сколько получится, если что-то объединить, то вычитание помогает понять, сколько останется, если что-то убрать. Проще говоря, вычитание — это способ определить разницу между двумя числами.

Чтобы лучше понимать вычитание, давайте разберемся с основными терминами:
- Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
- Вычитаемое — это число, которое вычитают.
- Разность — это результат вычитания.

Эти три термина — уменьшаемое, вычитаемое и разность — являются ключевыми компонентами вычитания. Понимание их значения и взаимосвязи составляет основу этой математической операции и помогает в решении различных задач, от простых до сложных.
Испытай свои силы в вычитании !
Вычитание в столбик
Представьте, что числа — это здания, а цифры — это кирпичики, из которых построены эти здания. Большие числа — большие здания, а маленькие числа — маленькие здания. Вычитание в столбик — это как игра в архитектора, где мы разбираем одно здание, чтобы построить другое.

Пример 1
Чтобы выполнить вычитание в столбик, нужно записать числа одно под другим, совместив одинаковые разряды: единицы под единицами, десятки под десятками и так далее.

Начинаем вычитание с самого правого разряда (разряд единиц).
9 — 2 = 7
Результат вычитания записываем под линией в разряде единиц.

Продолжаем вычитание в следующем разряде (разряд десятков):
3 — 1 = 2
Результат вычитания записываем под линией в разряде десятков.

Ответ: 27.
Вычитание в столбик во многом похоже на сложение в столбик.
В обоих случаях мы:
- Записываем числа одно под другим, выравнивая разряды.
- Начинаем с правого разряда (единиц) и двигаемся влево.
- Выполняем действие (сложение или вычитание) в каждом разряде.
- Записываем результат под линией.
Пример 2

Начинаем с разряда единиц.
Нам нужно из 4 вычесть 5, но этого мы сделать не можем, так как 4 меньше 5. Поэтому берем десяток у следующего разряда — разряда десятков.
Ставим точку над цифрой 6, чтобы не забыть, что мы взяли оттуда один десяток.

Прибавляем этот десяток к 4:
4 + 10 = 14
Теперь можем выполнить вычитание:
14 — 5 = 9
Записываем 9 в разряде единиц под чертой.

Переходим к разряду десятков.
Поскольку мы взяли один десяток из 6, там осталось 5 десятков.
Вычитаем:
5 — 5 = 0
Записывать ноль необязательно, так как он не влияет на итоговое число.


Ответ: 9.
В этом примере показано ключевое правило вычитания в столбик: когда в одном из разрядов верхнее число меньше нижнего, необходимо взять десяток, сотню и т.д. у соседнего разряда слева.
Важно помнить:
- Над цифрой, из которой берём десяток, сотню и т.д., ставим точку.
- После того как мы берем десяток, сотню или другой разряд, цифра в этом месте уменьшается на один.
- Наличие нулей перед числом не влияет на его значение.
Пример 3

Попробуйте решить этот пример самостоятельно, используя полученные ранее знания.
Вот основные шаги:
- Начните с разряда единиц и двигайтесь влево.
- Если верхняя цифра меньше нижней, возьмите (десяток, сотню и т.д.) у соседнего разряда слева.
- Не забудьте уменьшить цифру на один, из которой взяли десяток, сотню и т.д.
- Переходите к следующему разряду.
Если вам не удаётся решить пример с первого раза, не расстраивайтесь!
- Вернитесь к предыдущим примерам и внимательно изучите правила вычитания в столбик.
- Повторите шаги ещё раз, чтобы закрепить материал.
- Постарайтесь пройтись по каждому шагу внимательно и спокойно.
Помните, что учеба требует времени и практики. Каждое повторение приближает вас к уверенности в решении подобных примеров. Не бойтесь ошибаться — это естественная часть процесса обучения.
Решение примера

Начинаем с разряда единиц.
2 меньше 3, поэтому берем десяток у 8. Ставим точку над восьмеркой.

Теперь у нас 12 единиц (2 + 10 = 12).
Вычитаем: 12 — 3 = 9.
Записываем 9 под чертой в разряде единиц.

Переходим к разряду десятков.
У нас осталось 7 десятков (помним про точку над восьмеркой).
7 меньше 9, поэтому берем сотню у следующего разряда сотен.
Отмечаем точкой цифру 9 в разряде сотен.

Теперь у нас 17 десятков (7 + 10 = 17).
Вычитаем: 17 — 9 = 8.
Пишем 8 под чертой в разряде десятков.

У нас осталось 8 сотен (помним про точку над девяткой).
Пишем 8 под чертой в разряде сотен.

Ответ: 889.
Пример 4

Начинаем с разряда единиц:
Поскольку 5 меньше 6, нам нужно взять один десяток из следующего разряда — разряда десятков.
Но в разряде десятков у нас стоит 0, а это значит, что мы не можем взять десяток непосредственно из этого разряда. Что же делать?
Решение есть!
Если нельзя взять десяток у нуля, то мы идем дальше — к следующему разряду, разряду сотен. Но у этого разряда мы не можем взять десяток, так как это разряд сотен. Что мы можем сделать?
Мы берем одну сотню (100) из разряда сотен. Не забываем поставить точку над цифрой 3 (в разряде сотен), чтобы запомнить, что мы взяли оттуда одну сотню.
Теперь, что делать с этой сотней?

Из этой сотни мы один десяток передаем в разряд единиц, а оставшиеся 9 десятков передаем в разряд десятков, где у нас стоял 0. (Над цифрой 0 пишем маленькую 9.)
Когда при вычитании в столбик мы встречаем ноль в уменьшаемом, а нам нужно взять из этого разряда (десяток, сотню и т.д.), мы действуем следующим образом:
- Переходим к следующему ненулевому разряду слева.
- Берем (десяток, сотню и т.д.) из этого разряда.
- Уменьшаем цифру этого разряда на 1.
- Если между текущим разрядом и разрядом, из которого мы взяли, есть нули, каждый из них превращается в 9.
Теперь разряд десятков вместо 0 содержит 9 десятков.

Теперь, когда в разряде единиц у нас есть 15 (5 + 10), можем выполнить вычитание:
15 — 6 = 9
Записываем 9 в разряде единиц под чертой.

Переходим к разряду десятков:
В разряде десятков у нас теперь 9 (после того, как мы взяли 9 десятков из сотни).
Вычитаем:
9 — 2 = 7
Записываем 7 в разряде десятков под чертой.

Переходим к разряду сотен:
Мы взяли одну сотню из 3, поэтому в разряде сотен осталось 2.
Но нам нужно вычесть 9 из 2, что сделать мы не можем, так как 2 меньше 9. Поэтому мы занимаем одну единицу тысяч у разряда тысяч. Ставим точку над цифрой 8 (в разряде тысяч).

Складываем:
2 + 10 (10 сотен = 1 единица тысяч) = 12
Теперь можем выполнить вычитание:
12 — 9 = 3
Записываем 3 в разряде сотен под чертой.

Теперь переходим к разряду единиц тысяч.
Здесь у нас осталось 7 единиц тысяч (так как мы взяли одну единицу тысяч из 8).
Вычитаем:
7 — 1 = 6
Записываем 6 в разряде единиц тысяч под чертой.

Ответ: 6379.
В этом примере мы научились справляться с ситуацией, когда в уменьшаемом встречаются нули. Мы увидели, как можно брать (десяток, сотню и т.д.) не только из соседнего разряда, но и из более дальних разрядов, преобразовывая нули в девятки по пути.
Мы научились:
- Вычитать, когда нельзя взять (десяток, сотню и т.д.) непосредственно из разряда с нулем.
- Переходить к следующему ненулевому разряду слева, если встречаем ноль.
- Превращать нули в девятки при движении от разряда, из которого мы взяли (десяток, сотню и т.д.), к разряду, где нам не хватало для вычитания.
- Правильно распределять взятую (сотню, единицу тысяч и т.д.) между разрядами, чтобы выполнить вычитание.
Пример 5

Попробуйте самостоятельно решить этот пример. Уверен, что после всех трудностей при изучении вычитания в столбик он не вызовет у вас затруднений, и вы справитесь с ним без проблем.
Решение примера

Начинаем как всегда с разряда единиц.
0 меньше 3. Пытаемся взять десяток у следующего разряда, но там стоит ноль — брать нечего. Не сдаёмся и обращаемся к сотням, но и там всё пусто. Пробуем взять у единиц тысяч, но там снова ноль. Тем не менее, мы продолжаем и переходим к разряду десятков тысяч, где обнаруживается один десяток тысяч. Мы берём этот десяток тысяч. Однако взять мы сможем только один десяток, а остальное растеряем по пути. Все нули, через которые мы прошли, превращаются в девятки.

Теперь у нас 10 единиц (0 + 10 = 10).

Вычитаем: 10 — 3 = 7.

Переходим к разряду десятков.
У нас 9 десятков (0 + 9 = 9).
Вычитаем: 9 — 5 = 4.

Разряд сотен.
Вычитаем: 9 — 4 = 5.

Разряд единиц тысяч.
Вычитаем: 9 — 1 = 8.

В разряде десятков тысяч теперь ноль, поэтому мы можем записать ответ.
Ответ: 8547.
Проверка вычитания в столбик
После того как мы сами решили пример, возникает вопрос: как проверить правильность ответа? Разумеется, можно обратиться к готовому решению, однако существуют способы проверить ответ самостоятельно. Наиболее распространёнными являются проверка через сложение и обратная проверка вычитания.
Способ 1: Проверка через сложение
Вычитание и сложение являются обратными операциями. После выполнения вычитания мы можем прибавить вычитаемое к полученному результату, и если всё сделано верно, получим исходное уменьшаемое.

Сравниваем полученную сумму с исходным уменьшаемым: 10 000 = 10 000.

Если сумма равна исходному числу, значит вычитание выполнено правильно.
Способ 2: Обратная проверка вычитания
Этот способ предполагает выполнение обратной операции — вычитание результата из исходного уменьшаемого и сравнение с вычитаемым.

Сравниваем полученное число с вычитаемым: 1 453 = 1 453.

Если полученное число равно вычитаемому, значит вычитание выполнено правильно.
Заключение
В этом уроке мы глубоко погрузились в мир вычитания, одной из фундаментальных математических операций. Мы начали с определения основных компонентов вычитания: уменьшаемого, вычитаемого и разности, что заложило прочную основу для дальнейшего изучения.
Мы подробно рассмотрели метод вычитания в столбик, начиная с простых примеров и постепенно переходя к более сложным случаям. Каждый пример сопровождался детальным объяснением, что позволило нам шаг за шагом освоить этот важный навык. Особое внимание мы уделили вычитанию с множественными нулями в уменьшаемом.
В завершение урока мы изучили способы проверки правильности вычитания, включая проверку через сложение и обратную проверку вычитания. Эти способы не только помогают убедиться в правильности решения, но и укрепляют понимание связи между сложением и вычитанием.
Важно помнить, что мастерство в вычитании, как и в любом математическом навыке, приходит с практикой. Регулярное выполнение упражнений и решение различных примеров поможет закрепить полученные знания и развить уверенность в работе с числами.
Продолжайте практиковаться, решайте разнообразные примеры, и вскоре вы обнаружите, что вычитание стало для вас таким же естественным, как и сложение.
Удачи в ваших математических приключениях!
Домашние задания
🟢 (легкий)
🟡 (средний)
🔴 (сложный)
🟣 (очень сложный)
⬛ (Невозможный)
1. Решите примеры на вычитание в столбик:
- 🟢69 — 35
- 🟢52 — 14
- 🟢397 — 95
- 🟡423 — 158
- 🟡111 — 102
- 🟡100 — 68
- 🟡1 000 — 647
- 🔴3 042 — 1 295
- 🟣20 504 — 9 789
2. Проверьте правильность решения используя сложение:
- 🟢69 — 35 = 34
- 🟢52 — 14 = 38
- 🟢397 — 95 = 302
- 🟡423 — 158 = 265
- 🟡111 — 102 = 9
- 🟡100 — 68 = 32
- 🟡1 000 — 647 = 353
- 🔴3 042 — 1 295 = 1 747
- 🟣20 504 — 9 789 = 10 715
3. Решите примеры на вычитание с пропущенными цифрами:
- 🟢8 — ☹ = 5
- 🟡15 — ☹ = 7
- 🟡54 — 1☹ = 35
- 🟡350 — ☹40 = 210
- 🔴100 — ☹5 = 75
- 🔴3☹5 — ☹43 = 252
- 🔴4 567 — ☹567 = 4000
4. Найдите ошибки в следующих примерах:
- 🟢54 — 23 = 32
- 🟡325 — 167 = 168
- 🔴5 302 — 1 947 = 3 455
- 🟣☹ 6☹4 — 86☹ = 1 886
5. ⬛Выполните вычитание в двоичной системе счисления:
- ⬛111 — 101
- ⬛1010 — 1
- ⬛101101 — 11011
- ⬛10110 — 1101
Поддержите развитие сайта!
Привет! Я — энтузиаст математики, и этот сайт – мой способ сделать ее доступной для всех. Я работаю над ним в одиночку, и ваша поддержка очень важна!
Она поможет:
- Улучшать существующие материалы.
- Создавать новые интересные уроки.
- Обеспечивать работу сайта.
Любой вклад приближает нас к общей цели – открыть мир математики для каждого.
Спасибо за поддержку!